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Matemática 51
2025
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA ROSSOMANDO
1.
Graficar, hallar conjunto de positividad, negatividad, imagen y asintotas.
c) $f(x)=2^{x}$
c) $f(x)=2^{x}$
Respuesta
Sabemos que el dominio de las funciones exponenciales son todos los reales. Es importante que lo recuerdes.
Hallemos el conjunto de ceros:
$2^x = 0$
$\log(2^x) = \log(0)$
Aplicamos la propiedad del ln:
$x \log (2) = \log 0$ -> ¡absurdo!
Esto es absurdo, pues el logaritmo de cero no existe.
• $C^{0} = \emptyset$
Hallemos los conjuntos de positividad y negatividad:
Conociendo el conjunto de ceros y el dominio de la función podemos usar Bolzano.
Como $C^{0} = \emptyset$, eso significa que la funcion no cruza al eje $x$, es decir, es totalmente positiva o totalmente negativa.
Tomamos un valor cualquier y evaluamos la función:
$ f(0)=2^{0}=1 $
Viendo esto, podemos decir que la funcion es totalmente positiva, o sea:
• $C^{+} = \Re$
• $C^{-} = \emptyset$
Hallemos la imagen, calculando su función inversa y calculando su dominio:
$y=2^x$, en este caso no tenemos base $e$, sino que tenemos base $2$, por lo tanto vamos a plantear el logaritmo en base 2 de ambos lados:
$y=2^x$
$\log_2 (y) = \log_2 (2^x)$
$\log_2 (y) = x \log_2 (2)$
$\log_2 (y) = x$
cambio las variables:
$\log_2 (x) = y = f^{-1}(x)$
$f^{-1}(x) = \log_2 (x)$
Calculamos su dominio:
$x>0$
$Domf^{-1} = (0 ;+\infty)$
• $Imf =(0 ;+\infty)$
Asíntotas verticales:
No hay, ya que no hay valores restringidos del dominio.
• No hay AV
Asintotas Horizontales:
$\lim _{x \rightarrow \infty} 2^{x}=\infty$
Vemos que por el lado de infinito positivo no hay asintota.
Sin embargo, por el lado de infinito negativo, tenemos asintota horizontal:
$
\lim _{x \rightarrow-\infty} 2^{x}=2^{-\infty}=\frac{1}{2^{\infty}}=\frac{1}{\infty}=0
$
• Hay AH en $y=0$ por izquierda
La gráfica nos quedaría así:
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